Курсовая работа: Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Введение

2. Математическое объяснение метода

2.1 Метод Эйлера

2.2 Исправленный метод Эйлера

Возможно вы искали - Дипломная работа: Большой взрыв

2.3 Модифицированный метод Эйлера

3. Блок-схема алгоритма программы

4. Описание программы

Список использованной литературы

Приложение 1 (Текст программы)

Похожий материал - Реферат: Выдающиеся личности в математике

Приложение 2 (Результаты работы программы)


1. Введение

Уравнение, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно часто.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных) первого порядка с начальными данными (задача Коши) – классическая область применения численных методов. Имеется много разностных методов, часть из которых возникла в домашинную эпоху и оказалось пригодным для современных ЭВМ.

В этой программе использовался метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым – малая начальная ошибка быстро увеличивается с ростом Х. Поэтому чаще используют более точные методы, такие как: исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Нужно, однако, заметить, что метод Эйлера является методом Рунге – Кутта первого порядка.


Очень интересно - Реферат: Общие представления о формировании планет, комет и астероидов

2. Математическое объяснение метода

2.1 Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у/ =f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0 , х1 …, хn и числа у0 , не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1 , у2 ,…, уn , что уi =F(xi )(i=1,2,…, n) и F(x0 )=y0 .

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk -xk-1 называется шагом интегрирования.

Вам будет интересно - Дипломная работа: Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/ =f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x0 , y(x0 )=y0 (2)

Похожий материал - Доклад: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0 , х1 , х2 ,…, хn , где xi =x0 +ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi )»yi вычисляются последовательно по формулам уi +hf(xi , yi ) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М00 , у0 ), заменяется ломаной М0 М1 М2 … с вершинами Мi (xi , yi ) (i=0,1,2,…); каждое звено Мi Mi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi , смотри рисунок 1.

К-во Просмотров: 260