Лабораторная работа: Методы интегрирования

Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример1. Вычислить интеграл

Решение: Сделаем подстановку , пользуясь (**), получим

=

В некоторых случаях можно использовать более простые подстановки. Рассмотрим эти случаи.

Возможно вы искали - Реферат: Что такое орбита

Замечание 1: Если целая или дробная рациональная функция не меняет своего значения при изменении знака у одного из аргументов, например, т. е. , то она может быть приведена к виду , содержащему лишь четные степени .

Если же, наоборот, при изменении знака функция так же меняет знак, т.е. , то она проводится к виду .

Рассмотрим три случая:

1. Пусть теперь меняет знак при изменении знака , тогда

и рационализация достигается подстановкой .

Похожий материал - Реферат: Возникновение измерений в древности

2. Аналогично, если меняет знак при изменении знака , то

,

так что здесь целесообразна подстановка .

3. Предположим, наконец, что функция не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и : . В этом случае, заменяя на будем иметь: . По свойству функции R , если изменить знаки и (отношение при этом изменяется):

а тогда, как мы знаем .

Очень интересно - Реферат: Движение в центральном симметричном поле

Поэтому

=

Поэтому здесь используется подстановка .

Замечание 2. Каково бы ни было рациональное выражение , его можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных типов:

Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака , второе меняет знак при изменении , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знаков и . Разбив на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку , ко второму - подстановку и, наконец, к третьему - подстановку . Таким образом, для вычисления достаточно этих трех подстановок.

Вам будет интересно - Реферат: Инфракрасная спектроскопия

Пример 2. Вычислить интеграл:

Решение: =

Если в выражение подставим в место , то дробь изменит знак на противоположный, поэтому здесь выгодна подстановка .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение: в этом случае можно сделать замену .

Похожий материал - Реферат: Несколько слов о Солнце

=

Интегралы от квадратов и других четных степеней и находят, применяя формулы понижение степени:

.

Задача. Интегрируя по частям, вывести формулы понижения степени:

К-во Просмотров: 429